The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0) → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0 → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
isNatKind(n__plus(n__isNatKind(X92906_4), V2)) →⁺ and(isNatKind(isNatKind(X92906_4)), n__isNatKind(activate(V2)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X92906_4 / n__plus(n__isNatKind(X92906_4), V2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNat, activate, U31, plus, and, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U31, plus, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U31, plus, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U31, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
U31, isNat, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U31.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(17) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(19) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Induction Base:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, 0)))

Induction Step:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, +(n3036_4, 1)))) →_R^Ω(1)
and(isNatKind(activate(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4)))), n__isNatKind(activate(tt))) →_R^Ω(1)
and(isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))), n__isNatKind(activate(tt))) →_IH
and(*3_4, n__isNatKind(activate(tt))) →_R^Ω(1)
and(*3_4, n__isNatKind(tt))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(20) Complex Obligation (BEST)

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
and, isNat, activate, U31, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNat, U31, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
plus, isNat, U31

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
U31, isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U31.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNat = activate
isNat = U31
isNat = plus
isNat = and
isNat = isNatKind
activate = U31
activate = plus
activate = and
activate = isNatKind
U31 = plus
U31 = and
U31 = isNatKind
plus = and
plus = isNatKind
and = isNatKind

(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

No more defined symbols left to analyse.

(32) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

(33) BOUNDS(n^1, INF)

(34) Obligation:

TRS:
Rules:
U11(tt, V1, V2) → U12(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U12(tt, V2) → U13(isNat(activate(V2)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNat(activate(V1)))
U22(tt) → tt
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, M, N) → s(plus(activate(N), activate(M)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__plus(V1, V2)) → U11(and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2))), activate(V1), activate(V2))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__plus(V1, V2)) → and(isNatKind(activate(V1)), n__isNatKind(activate(V2)))
isNatKind(n__s(V1)) → isNatKind(activate(V1))
plus(N, 0') → U31(and(isNat(N), n__isNatKind(N)), N)
plus(N, s(M)) → U41(and(and(isNat(M), n__isNatKind(M)), n__and(isNat(N), n__isNatKind(N))), M, N)
0' → n__0
plus(X1, X2) → n__plus(X1, X2)
isNatKind(X) → n__isNatKind(X)
s(X) → n__s(X)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__plus(X1, X2)) → plus(X1, X2)
activate(n__isNatKind(X)) → isNatKind(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__and(X1, X2)) → and(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
U11 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
tt :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U12 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNat :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
activate :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U13 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U21 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U22 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U31 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
U41 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__0 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__plus :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__isNatKind :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__s :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
0' :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
n__and :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
hole_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and1_4 :: tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4 :: Nat → tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and

Lemmas:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

Generator Equations:
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(0) ⇔ tt
gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(x, 1)) ⇔ n__plus(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(x), tt)

No more defined symbols left to analyse.

(35) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNatKind(gen_tt:n__0:n__plus:n__isNatKind:n__s:n__and2_4(+(1, n3036_4))) → *3_4, rt ∈ Ω(n3036₄)

(36) BOUNDS(n^1, INF)